Арифметика пифагорейцев

В арифметике пифагорейцев основным (и, может быть, первоначальным) следует считать прежде всего деление чисел на четные, нечетные и четно-нечетное первичное число (единица). Этому тройному делению составляют параллель три вида чисел, открытых пифагорейцами: так называемые квадратные, прямоугольные и треугольные числа. Квадратные числа получаются через сложение нечетных: 1+3=4=22, 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42 и т. д. Прямоугольные числа получаются через сложение четных: 2+4=6=2 х 3; 2+4+6=12=3 х 4 и т. д. Треугольные числа получаются через сложение по порядку четных и нечетных чисел:

1+2+3+…+n=

в пифагорейской школе рано было открыто также взаимоотношение квадратов чисел (учение о сумме квадратов чисел). Далее у них мы находим учение о средних величинах, т. е. о пропорциях и отношениях величин. Насчитывалось всего десять видов «средних величин». Из них три вида: так называемое арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее вошли в современную математику под названием непрерывных пропорций (арифметическая непрерывная пропорция а – с=с х b, геометрическая а: с=с: b, и гармоническая (а – b):(b — c)=a: c; таким образом, среднее арифметическое двух величин равно , среднее геометрическое аb и среднее гармоническое . из пифагорейской же школы вышла Пифагорова таблица умножения, вписанная в четырехугольник. Размышляя над основаниями математического счета привели пифагорейцев к поклонению священной декаде. Все остальные числа суть для них простые повторения первых десяти. Декаду они отождествляли с четверкой, так как сумма первых четырех чисел равна 10. священными числами считались по преимуществу единица, как первоначало чисел, троица, так как истинное единство представлялось им триединством, четверица, как заключающая в себе тайну декады, и, наконец, сама десятка.

К пифагорейским открытиям в геометрии принадлежит прежде всего так называемая Пифагорова теорема (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Другая теорема, открытая Пифагором, говорит о сумме углов в треугольнике (=2d). Сам Пифагор открыл несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной . В стереометрии пифагорейцы первые открыли 5 правильных геометрических тел: куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.