Образное мышление

Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно обшее — это конкуренцию нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаше имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки.

Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей, которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет «границы» в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению. Это, так сказать, «диссиденты», не желающие «принадлежать».

Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма упрошенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт. На самом деле процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной итерации является начальным значением для следующей.

Единственное, что при этом требуется — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон должен быть более сложным, чем простая пропорциональность . Схематическая диаграмма указывает на то, что правило зависит от параметра c, влияние которого будет обсуждаться ниже.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения , то его результатом будет последовательность , поведение которой по истечении достаточно большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению Х, стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и конкретным начальным значением, но тем не менее непредсказуема?

Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так, описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готтфрид В. Лейбниц, основано на принципе обратной связи. Динамический закон определяет положение и скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона. Несущественно, будет ли процесс дискретным, т. е. осуществляемым по шагам, либо непрерывным. Физикам нравится мыслить в терминах инфинитезимальных единиц времени: Natura non facit saltus («Природа не делает скачков»). Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать изменения от года к году или от поколения к поколению. Очевидно, допустимы обе точки зрения, а выбор подходящего описания определяется обстоятельствами.