Проникновение в хаос

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте прироста в 5 % популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание П. Ф. Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера Х и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются к Х. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения Х, увеличиваясь когда она меньше его, и уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200 %, нас ожидают сюрпризы.

Существуют ли в природе такие большие коэффициенты прироста? Конечно, человеческая популяция так быстро не растет, но для определенных видов насекомых такой коэффициент не является необычным. Важно то, что в последние 20 лет закон Ферхюльста нашел применение для значительно более широкого круга явлений, чем представлял себе сам Ферхюльст.

Эдвард Н. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института, обнаружил в 1963 году, что именно этот закон описывает некоторые свойства турбулентного потока, в частности когда коэффициент велик. Затем теоретические исследования по лазерной физике, гидродинамике и кинотике химических реакций продемонстрировали принципиальный характер этого закона, и предсказанные им сценарии были обнаружены в экспериментах.

Но как же ведет себя процесс Ферхюльста, когда коэффициент становится большим? Подробный анализ очень сложен.

Упомянем только наиболее важные результаты. Когда параметры роста превысят 200 %, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате которого популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим.

Когда параметр роста превысит 245 %, происходит дальнейшее усложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее, до тех пор пока для параметров, больших 257 %, не возникает хаос.

Что мы понимаем под хаосом? Попросту говоря, система выходит из под контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением — и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе.

Эта очень тонкая ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим начальным значением, подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Это является верным только «в принципе». Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в компьютере можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. Имеет ли смысл точно определять значения параметров роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода к колебаниям периода ? Кому это нужно?

Но педантичность часто стояла у колыбели важных открытий. Иоганн Кеплер не открыл бы эллиптической формы орбит движения планет, если бы не был обеспокоен небольшим отклонением в 8 угловых минут орбиты Марса от предсказаний теории Птоломея. Фридрих Вильгельм Бессель не смог бы определить расстояние от Солнца до ближайших неподвижных звезд, не научившись точнейшему использованию чисел и таблиц во время своего ученичества у одного из бременских торговцев. Научная работа всегда зависит от самого скрупулезного внимания к деталям даже тогда, когда становится ясной качественная сторона. А как известно всем, кому приходилось искать ошибки в какой-либо программе, для этого нет лучшего инструмента, чем компьютер.

При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность, имеющая исключительное значение в мире нелинейных явлений. Закономерность касается длин интервалов значений параметра, при которых устойчивым является периодическое движение с некоторым определенным периодом. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению

= 4.669201660910…,

когда период растет.

Это число, первые десятичные знаки которого были впервые опубликованы Гроссманном и Томэ в 1977 году, появляется снова и снова во многих других процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число для отношения длины окружности к ее диаметру. Это число называют теперь «числом Фейгенбаума». Митчел Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он открыл универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Это и начало турбулентности в потоке жидкости, и нелинейные колебания в химических или электрических сетях, и даже переход нормального ритма сердца в угрожающую жизни фибрилляцию. И мы просто не в состоянии перечислить все группы в США, Франции, ФРГ или где-либо еще, продемонстрировавшие, что существенные аспекты динамики сложных систем можно свести к поведению, пример которого дает уравнение Ферхюльста.

На теорию это оказало не менее сильное воздействие. Математики все еще пытаются до конца понять эту неожиданную универсальность. Но, по-видимому, более важно, что она породила надежду на то, что нелинейные явления не лежат за пределами систематизации и научной классификации.

Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был биолог Роберт М. Мэй. Еще в 1976 году он писал:

Поэтому я настоятельно советую, чтобы люди знакомились, скажем (с уравнением Ферхюльста), на раннем этапе своего обучения математике. Это уравнение можно изучать феноменологически, итерируя его на калькуляторе или даже вручную. Его изучение даже не требует всего множества сложных понятий, какие используются в элементарном анализе. Такое изучение очень обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах.

Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами.

ПОГРАНИЧНЫЕ СТЫЧКИ: ХАОС, ВОЗНИКАЮЩИЙ ИЗ КОНКУРЕНЦИИ

Для понимания нелинейных явлений бифуркационный сценарий приобретает фундаментальное значение. Анализ процесса Ферхюльста превратил идею детерминированного хаоса в важный предмет обсуждения и выявил некоторые универсальные свойства сложных динамических процессов. Универсальность следует истолковывать правильно. Конечно, существуют и другие пути к хаосу; на самом деле были открыты и другие сценарии столь же общего характера. Понятие универсальности отчасти отражает тенденцию физиков и математиков использовать слова, звучащие многозначительно.

На самом деле оно означает, что некоторое поведение является типичным, и это более или менее удивительная находка среди всего многообразия систем.

Крайне желательно установить принципы, характеризующие соотношения между индивидуальными сценариями. Бенуа Б. Мандельброту это удалось сделать в 1980 году, когда он обнаружил множество, носящее теперь его имя. Это не просто причудливая фигура, которая кому-то кажется прекрасной, а кому-то безобразной; множество Мандельброта воплощает в себе более общий, чем универсальность Фейгенбаума, принцип перехода от порядка к хаосу. Здесь, как это часто бывает в математике, обнаруживается связь эстетической привлекательности с фундаментальным значением.

Идея, использованная Мандельбротом, состояла в том, чтобы вместо действительных чисел рассмотреть комплексные и наблюдать процесс … не на прямой, а в плоскости. Даже человеку, не знакомому с комплексными числами, не сложно понять суть этого процесса: достаточно лишь представить себе, что правило указывает, куда должна переместиться точка в плоскости, а не на прямой. Конкретный вид правила не является существенным, поскольку, как мы увидим, различные правила могут порождать то же самое множество Мандельброта. Более важным является то, что переход от порядка к хаосу описывается с более общей точки зрения. В центре внимания оказалась природа границ между различными областями. Можно представить себе центры — аттракторы — которые ведут борьбу за влияние на плоскости; любая начальная точка либо в течение процесса приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и не может принять определенное решение. С изменением параметра изменяются и области, принадлежащие аттракторам, а вместе с ними и границы. Может случиться, что граница превратится в пыль, и такой распад представляет собой один из наиболее важных сценариев.

Процесс Мандельброта математически эквивалентен процессу Ферхюльста. Формула такая же простая:


Выбрав произвольное число , возведем его в квадрат и прибавим константу с для того, чтобы получить ; затем повторим вычисления для того, чтобы получить и т. д. Это под силу каждому. Но никто не ожидал, что в таком итерировании может скрываться столько загадочной красоты.