Историческая справка об иррациональных уравнениях

“Источником алгебраических иррацио-нальностей является двузначность или мно-гозначность задачи; ибо было бы невозмож-но выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи кор-ней…; они же разве только в частных случа-ях могут быть сведены к рациональностям”. (Лейбниц Г.)

Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррационально-стью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с опре-делённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были по-пытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, из-вестного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорей-ской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам.
Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказатель-ство иррациональности числа путём сведения этого доказательства к фор-мальному противоречию. Пусть , где m и n – взаимно простые числа. Тогда m2=2n2, откуда следует, что т2 чётное и, следовательно, п2 чётное. Чётно, следо-вательно и п. Получающееся противоречие (п не может быть одновременно и чёт-ным и нечётным) указывает на неверность посылки, что число рационально.

Для исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу же оказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В са-мом деле, пусть , где p и g - взаимно просты, а п является произведением только первых степеней сомножителей отсюда р2=пg2. Если t – простой делитель п, то р2 (а значит, и р) делится на t. Следовательно, р2 делится на t2. Но в п содер-жится только первая степень t. Значит g2 (равно как и g) делится на t. Но этот ре-зультат формально противоречит предположению, что р и g взаимно просты.

Вслед за иррациональностью числа были открыты многие другие ирра-циональности. Так, Архит (около 428-365 до н.э.) доказал иррациональность чи-сел вида . Теодор из Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6,…,17, которые не являются полным квадратом. Теэтет (410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей.

С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.