В геометрии - свойство геометрических фигур. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная) симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), если ее точки попарно обладают указанным свойством. Фигура симметрична относительно точки (центр симметрии), если ее точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от него.
В зависимости от характера (типа) равенства симметричных фигур различают два рода симметрических преобразований - операций симметрии: операции 1-го рода, связывающие конгруэнтно равные фигуры, и 2-го рода - связывающие энантиоморфные фигуры.
Наиболее простыми видами симметрических операций являются переносы - трансляции, используемые при описании бесконечных закономерных построек - кристаллических структур (или узоров). При подобных операциях ни одна точка пространства не остается на месте.
Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения (“стереос” - пространственный, “метрео” - измеряю) и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: “Призма есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы”.
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - пропорция, которой древние маги приписывали особые свойства. Если произвести деление объекта на две неравные части так, что меньшая будет относиться к большей, как большая ко всему объекту, возникнет так называемое золотое сечение. Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные.
Петровский Иван Георгиевич [5(18). 1.1901, Севск, ныне Брянской области, — 15.1.1973, Москва], математик, академик (1946; член-корреспондент 1943) и член Президиума (с 1953) АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). По окончании в 1927 Московского университета работал там же (с 1933 профессор, с 1951 ректор).
Шафаревич Игорь Ростиславович (родился 3.6.1923, Житомир), советский математик, член-корреспондент АН СССР (1958). В 1940 окончил Московский университет, с 1944 преподаёт там же (с 1953 проф.). С 1943 работает в Математическом институте АН СССР.
Основные работы относятся к алгебре и теории алгебраических чисел. Ленинская премия (1959).
Лагранж (Lagrange) Жозеф Луи (25.1.1736, Турин, — 10.4.1813, Париж) - французский математик и механик, член Парижской АН (1772). Родился в семье обедневшего чиновника. Самостоятельно изучал математику. В 19 лет Лагранж уже стал профессором в артиллерийской школе Турина. В 1759 избран член Берлинской АН, а в 1766—87 был её президентом. В 1787 Лагранж переехал в Париж; с 1795 профессор Нормальной школы, с 1797 — Политехнической школы.
Бельтрами (Beltrami) Эудженио (16.11.1835, Кремона, — 18.2.1900, Рим) - итальянский математик, член Национальной Академии деи Линчеи в Риме (1873). Профессор университетов в Болонье (1862) и в Риме (1873).
Основные труды относятся к дифференциальной геометрии. Показал, что геометрия Лобачевского (планиметрия) реализуется на некоторой поверхности, называемой псевдосферой.
Дезарг (Désargues) Жерар [1593, Лион, — 1662, там же (по др. данным — 1591—1661)] - французский математик.
Был военным инженером. Заложил основы проективной и начертательной геометрии. В своих исследованиях систематически применял перспективное изображение. Первым ввёл в геометрию бесконечно удалённые элементы. Дезарг принадлежит одна из основных теорем проективной геометрии (см. Дезарга теорема). Дезарг принадлежат также сочинения о резьбе по камню и о солнечных часах, где он даёт геометрические обоснования практическим операциям.
Гильберт, Хильберт (Hilbert) Давид (23.1.1862, Велау, близ Кёнигсберга, — 14.2.1943, Гёттинген) - немецкий математик.
Окончил Кёнигсбергский университет, в 1893—95 профессор там же, в 1895—1930 профессор Гёттингенского университета, до 1933 продолжал читать лекции в университете, после прихода гитлеровцев к власти в Германии (1933) жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Его исследования оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в 1-й трети 20 в. являлся одним из основных мировых центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Гильберт Вейль, Р. Курант) были написаны под руководством Гильберта.
Клейн (Kiein) Феликс (25.4.1849, Дюссельдорф,—22.6.1925, Гёттинген) - немецкий математик, член-корреспондент Германской АН в Берлине (1913).
В 1865 поступил в Боннский университет, учился у Ю. Плюккера; доктор философии Боннского университета (1868). С 1872 профессор математики в Эрлангене, с 1875 в Мюнхенской Высшей технической школе, а с 1880 в Лейпцигском университете. В 1886 Клейн переехал в Геттинген, где оставался до конца жизни. Основные работы Клейн по неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории атоморфных функций.
С 1863 профессор Кембриджского университета. Основные работы по теории алгебр, квадратичных форм. Установил связь между теорией инвариантов и проективной геометрией. Исследования Кэли в этой области легли в основу истолкования геометрии Лобачевского («интерпретация Кэли — Клейна»). Автор работ по теории определителей, дифференциальных уравнений, эллиптических функций.
Занимался также сферической астрономией и астрофизикой.
Грасман (Grassmann) Герман (15.4. 1809, Штеттин, — 26.9.1877, там же) - немецкий математик, занимавшийся также физикой и филологией. В сочинении «Учение о протяжённых величинах» (1844) дал первое систематическое построение учения о многомерном евклидовом пространстве, способствовавшее развитию векторного и тензорного исчислений. Однако из-за абстрактного изложения и необычайной терминологии сочинение было малодоступным.
В «Учебнике арифметики» (1861) Грасман сделал попытку строгого изложения арифметики целых чисел и выяснил при этом роль индуктивных определений. В области физики Грасман принадлежат работы по акустике и магнитному взаимодействию токов.
АЛЕКСАНДРОВ, ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ (1896–1982), русский математик. Родился 25 апреля (7 мая) 1896 в Богородске (ныне Ногинск Московской обл.). В 1913, после окончания частной гимназии с золотой медалью, поступил на математическое отделение Московского университета. В 1915 стал учеником Н.Н.Лузина. Окончил Московский университет в 1917, а с 1921 начал преподавать в университете, где постепенно создал собственную топологическую школу (среди его учеников – академики АН СССР Л.С.Понтрягин и А.Н.Тихонов). В 1929 стал профессором, в 1934 защитил докторскую диссертацию.
Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, — 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я. Бернулли), а в 1720—24 в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. Бернулли.
Декарт (Descartes) Рене (латинизированное имя — Картезий; Renatus Cartesius) [31.3.1596, Лаэ (Турень), — 11.2.1650, Стокгольм] - французский философ и математик. Происходил из старинного дворянского рода. Образование получил в иезуитской школе Ла Флеш в Анжу. В начале Тридцатилетней войны служил в армии, которую оставил в 1621; после нескольких лет путешествий переселился в Нидерланды (1629), где провёл двадцать лет в уединённых научных занятиях. Здесь вышли его главные сочинения — «Рассуждение о методе...» (1637, рус. пер. 1953), «Размышления о первой философии...» (1641, рус. пер. 1950), «Начала философии» (1644, рус. пер. 1950). В 1649 по приглашению шведской королевы Кристины переселился в Стокгольм, где вскоре умер.
Лобачевский Николай Иванович [20.11(1.12).1792, Нижний Новгород, ныне г. Горький, — 12 (24).2.1856, Казань] - русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Родился в семье мелкого чиновника. Почти всю жизнь Лобачевский провёл в Казани. Там он учился в гимназии (1802—07) на казённом содержании, затем в Казанском университете (1807—11). Рано обнаружил выдающиеся способности, по окончании университета получил степень магистра (1811) и был оставлен при университете; в 1814 стал адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Несмотря на реакционную обстановку, сложившуюся в годы попечительства М. Лобачевский Магницкого, Лобачевский вёл напряжённую научную и педагогическую работу (преподавал математику, физику и астрономию), закупил в столице оборудование для физического кабинета и книги для библиотеки, а затем возглавлял её 10 лет (с 1825);
Псевдосфера - поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением особой кривой, т. н. трактрисы, около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной. Интерес к изучению Псевдосфера обусловлен тем, что фигуры, начерченные на гладких частях этой поверхности, подчиняются законам неевклидовой геометрии Лобачевского. Этот факт, установленный в 1868 Э. Бельтрами, сыграл существенную роль в споре о реальности Лобачевского геометрии.
Тетраэдр принадлежит к семейству платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Тетраэдр - простейший многогранник, его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Несмотря на свою простоту, тетраэдр - полноправный представитель семейства платоновых тел. Все его грани - одинаковые правильные многоугольники, все его многогранные углы равны.
Тетраэдр - пространственный аналог плоского равностороннего треугольника, поскольку он имеет наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства
